L'erreur féconde d'Henri Poincaré

L'une des formules mathématiques les plus connues de l’histoire naît entre 1866 et 1872, dans une vertigineuse partie de ping-pong entre deux immenses physiciens : d'un côté, l’Anglais James Clerk Maxwell et de l’autre, l’Autrichien Ludwig Boltzmann.

L’équation de Boltzmann

Ensemble, ils ont écrit les équations prédisant l’évolution de la distribution statistique des positions et vitesses des particules dans un gaz. En particulier, ils prouvent que la pression exercée par un gaz sur une paroi est la résultante de tous les chocs des particules sur cette paroi.

Boltzmann insère cette équation dans le lit de la toute jeune  thermodynamique, la science des échanges de chaleur et d’énergie. Il fournit une interprétation statistique de la mystérieuse  entropie introduite par Clausius pour caractériser la capacité d’un gaz à changer d’état. Pour Boltzmann, l’entropie, c’est, en gros, le nombre de configurations microscopiques qui peuvent correspondre à l'état observé.

Par un raisonnement d’inspiration mathématique, il montre que cette quantité ne peut qu’augmenter au fur et à mesure que le temps passe. Il y retrouve l’irréversible flèche du temps, l’existence d’un avant et d’un après, les liens entre théorie des probabilités et structure atomique de la matière. Des sujets qui feront débat pendant plus de cent ans après lui.

Le problème à trois corps

Nous sommes en 1885 et  Henri Poincaré est alors un jeune scientifique prometteur. Il concourt pour un grand prix offert par le Roi Oscar II de Suède, inspiré par le très influent mathématicien suédois Gösta Mittag-Leffler.

La gravitation universelle de  Newton considère deux corps qui s’attirent l’un l’autre, proportionnellement au produit de leurs masses divisé par le carré de leur distance. Et si l’on considère deux corps dans un univers par ailleurs vide, disons le Soleil et la Terre, en faisant abstraction de tout le reste de l’univers, alors on sait résoudre cette équation : on trouve que la Terre décrit une superbe ellipse autour du Soleil, comme l’avait découvert  Kepler au 16e siècle.

Mais si l’on considère trois corps comme la Terre, le Soleil et Jupiter, que va-t-il se passer ? Jupiter perturbe la trajectoire de la Terre, et réciproquement. Ce ne sont plus des ellipses, ce ne sont plus des trajectoires périodiques. Est-ce que le mouvement sera stable, régulier ou imprédictible ?

Alors Poincaré reformule les questions. Il étudie la géométrie d'un ensemble de solutions. Il démontre la stabilité, sans calculer les solutions. Les résultats et les méthodes sont révolutionnaires ! Il gagne le prix haut la main. Seulement, quelques mois plus tard, le jeune mathématicien Lars Phragmén révélera une erreur fondamentale dans le calcul de Poincaré.